放宽局部差分隐私约束下的更优密度估计率

我们考虑在松弛局部差分隐私条件下的密度估计问题，该条件要求私有化后的分布在全变差距离上保持 $\alpha$-接近。我们证明，向每个敏感观测值添加服从适宜对称 Gamma 分布的独立噪声即可达到 $\alpha$-TV-LDP。我们证明了 $r$-Sobolev 光滑函数的反卷积估计量在差一个对数因子的意义下可达到逐点速率 $(n\alpha)^{-\frac{2r-1}{2r}}$，该速率快于经典 $\alpha$-LDP 下的 $(n\alpha^2)^{-\frac{2r-1}{2r+1}}$，且更接近非私有情形下的极小化极大速率 $n^{-\frac{2r-1}{2r}}$。接着，我们利用 Goldenshluger-Lepski 方法构建了一个不依赖于光滑度参数的自适应过程，并证明了我们的速率在自身私有化方案的卷积模型中的最优性。我们通过实现一个无需在优化步骤中添加额外噪声的神经网络估计器，展示了这种简便隐私机制的优势。数值实验结果表明，相较于 Laplace 机制和 private-SGD 机制，该方法的估计速率获得了显著提升。