双摆周期轨道的变分延拓方法

我们提出了一种基于 Hessian 的方法，用于数值延拓动力系统中的周期轨道。闭环（周期轨道候选）被参数化为傅里叶级数；损失函数则根据该闭环对物理微分方程的偏离程度来定义。与以往依赖手动推导雅可比矩阵的方法不同，我们利用了自动微分这一常用的机器学习技术，使该过程实现了自动化。延拓方向可通过损失曲面的平坦方向（零特征值方向）来确定，从而使周期轨道的搜索兼具高效性与导向性。我们的方法无需数值积分器，能够精确初始化不稳定不动点附近的振荡，并高效检测轨道族相交及次谐波分岔。作为演示，我们展示了双摆周期振荡从不动点出发的完整延拓过程，展现了沿轨道族的分岔，并对周期轨道的分支进行了分类。特别地，我们发现了两个摆锤从未同时处于静止状态的周期轨道，据我们所知，这一发现此前在文献中尚未见报道。